Barsbilim Barsbilim
БөлүмГлаваChapitre 12 · 9-класс классe classe

Тригонометриянын элементтериЭлементы тригонометрииÉléments de trigonométrie

I.Бурч жана анын радиандык чениУгол и его радианная мераL’angle et sa mesure en radians

АныктамаОпределениеDéfinition — РадианРадианLe radian

1 радиан — узундугу радиуска барабар догого таянган борбордук бурч. Жарым айлана π радианга барабар:1 радиан — центральный угол, опирающийся на дугу длиной в радиус. Полуокружность равна π радиан:1 radian est l’angle au centre qui découpe un arc de longueur égale au rayon. Le demi-cercle vaut π radians :

180° = π рад

ЫкмаМетодMéthode — КоторууПереводConversion

Градустан радианга: π/180 ге көбөйт. Радиандан градуска: 180/π ге көбөйт.Из градусов в радианы: умножь на π/180. Из радиан в градусы: умножь на 180/π.Degrés vers radians : multiplier par π/180. Radians vers degrés : multiplier par 180/π.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : 135° ту радианга айландыргыла.Переведите 135° в радианы.Convertissez 135° en radians.

135° = 135·π/180 = 3π/4 рад.135° = 135·π/180 = 3π/4 рад.135° = 135 × π/180 = 3π/4 rad.

Жоопту π аркылуу калтыруу адат: 3π/4 — так, 2,36 — болжолдуу.Ответ принято оставлять через π: 3π/4 — точно, 2,36 — приближённо.On garde la réponse avec π : 3π/4 est exact, 2,36 approché.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : 5π/6 радианды градуска айландыргыла.Переведите 5π/6 радиан в градусы.Convertissez 5π/6 radians en degrés.

5π/6 · 180°/π = 5·180°/6 = 150°.5π/6 · 180°/π = 5·180°/6 = 150°.5π/6 × 180°/π = 5 × 180°/6 = 150°.

II.Каалаган бурчтун синусу, косинусу жана тангенсиСинус, косинус и тангенс любого углаSinus, cosinus et tangente d’un angle quelconque

АныктамаОпределениеDéfinition — Синус, косинус, тангенсСинус, косинус, тангенсSinus, cosinus, tangente

Бирдик айланада α бурчуна туура келген M чекити үчүн: cos α — M дин абсциссасы, sin α — ординатасы, tg α = sin α / cos α. Аныктама КААЛАГАН бурчка иштейт.Для точки M единичной окружности, отвечающей углу α: cos α — абсцисса M, sin α — ордината, tg α = sin α / cos α. Определение работает для ЛЮБОГО угла.Pour le point M du cercle unité associé à l’angle α : cos α est l’abscisse de M, sin α son ordonnée, et tan α = sin α / cos α. La définition vaut pour tout angle.

КасиетСвойствоPropriété — Негизги бурчтардын так маанилериТочные значения основных угловValeurs exactes usuelles

0°, 30°, 45°, 60°, 90° бурчтарынын синустары: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 (б.а. √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2). Косинустар — ошол эле катар тескерисинен.Синусы углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 (то есть √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2). Косинусы — тот же ряд в обратном порядке.Les sinus de 0°, 30°, 45°, 60°, 90° : 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 (soit √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2). Les cosinus : la même liste à l’envers.

O x y 1 M α cos α sin α
Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : sin 150°, cos 150° жана tg 150° ту тапкыла.Найдите sin 150°, cos 150° и tg 150°.Trouvez sin 150°, cos 150° et tan 150°.

150° — экинчи чейректе: синус оң, косинус терс.150° — во второй четверти: синус положителен, косинус отрицателен.150° est dans le deuxième quadrant : sinus positif, cosinus négatif.

150° = 180° − 30°, ошондуктан sin 150° = sin 30° = 1/2, cos 150° = −cos 30° = −√3/2.150° = 180° − 30°, поэтому sin 150° = sin 30° = 1/2, cos 150° = −cos 30° = −√3/2.150° = 180° − 30°, donc sin 150° = sin 30° = 1/2 et cos 150° = −cos 30° = −√3/2.

tg 150° = (1/2)/(−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.tg 150° = (1/2)/(−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.tan 150° = (1/2)/(−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : cos 270°, sin 270° жана cos(−60°) ту тапкыла.Найдите cos 270°, sin 270° и cos(−60°).Trouvez cos 270°, sin 270° et cos(−60°).

270° га туура келген чекит — (0; −1): cos 270° = 0, sin 270° = −1.Точка для 270° — это (0; −1): cos 270° = 0, sin 270° = −1.Le point de 270° est (0 ; −1) : cos 270° = 0 et sin 270° = −1.

−60° менен 60° тун чекиттери Ox огуна карата симметриялуу: абсциссалары бирдей. cos(−60°) = cos 60° = 1/2.Точки −60° и 60° симметричны относительно Ox: абсциссы равны. cos(−60°) = cos 60° = 1/2.Les points de −60° et 60° sont symétriques par rapport à Ox : mêmes abscisses. cos(−60°) = cos 60° = 1/2.

III.Негизги теңдештиктер жана келтирүү формулаларыОсновные тождества и формулы приведенияIdentités fondamentales et formules de réduction

ТеоремаТеоремаThéorème — Негизги теңдештикОсновное тождествоIdentité fondamentale

Бирдик айланадагы чекиттин координаталары үчүн (Пифагор теоремасы боюнча):Для координат точки единичной окружности (по теореме Пифагора):Pour les coordonnées d’un point du cercle unité (théorème de Pythagore) :

sin²α + cos²α = 1

КасиетСвойствоPropriété — Келтирүү формулаларыФормулы приведенияFormules de réduction

sin(180° − α) = sin α.sin(180° − α) = sin α.sin(180° − α) = sin α.

cos(180° − α) = −cos α.cos(180° − α) = −cos α.cos(180° − α) = −cos α.

sin(−α) = −sin α.sin(−α) = −sin α.sin(−α) = −sin α.

cos(−α) = cos α.cos(−α) = cos α.cos(−α) = cos α.

sin(90° − α) = cos α. Жаттабай эле айлананын симметрияларынан окуса болот.sin(90° − α) = cos α. Их не зубрят — их читают по симметриям окружности.sin(90° − α) = cos α. On ne les apprend pas par cœur : on les lit sur les symétries du cercle.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : cos α = −5/13 жана α — үчүнчү чейректе. sin α ны тапкыла.cos α = −5/13 и α — в третьей четверти. Найдите sin α.cos α = −5/13 et α est dans le troisième quadrant. Trouvez sin α.

sin²α = 1 − cos²α = 1 − 25/169 = 144/169, демек sin α = ±12/13.sin²α = 1 − cos²α = 1 − 25/169 = 144/169, значит sin α = ±12/13.sin²α = 1 − cos²α = 1 − 25/169 = 144/169, donc sin α = ±12/13.

Үчүнчү чейректе синус терс: sin α = −12/13.В третьей четверти синус отрицателен: sin α = −12/13.Dans le troisième quadrant, le sinus est négatif : sin α = −12/13.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Эсептегиле: sin 160° / sin 20° жана cos 200° + cos 20°.Вычислите: sin 160° / sin 20° и cos 200° + cos 20°.Calculez sin 160° / sin 20° et cos 200° + cos 20°.

sin 160° = sin(180° − 20°) = sin 20°: катышы 1.sin 160° = sin(180° − 20°) = sin 20°: отношение равно 1.sin 160° = sin(180° − 20°) = sin 20° : le quotient vaut 1.

cos 200° = cos(180° + 20°) = −cos 20°: суммасы 0.cos 200° = cos(180° + 20°) = −cos 20°: сумма равна 0.cos 200° = cos(180° + 20°) = −cos 20° : la somme vaut 0.

IV.Кошуу формулалары жана эки эселенген бурчФормулы сложения и двойного углаFormules d’addition et de duplication

ТеоремаТеоремаThéorème — Кошуу формулаларыФормулы сложенияFormules d’addition

sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β.sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β.sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β.

cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β.cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β.cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.

ТеоремаТеоремаThéorème — Эки эселенген бурчДвойной уголDuplication

sin 2α = 2·sin α·cos α.sin 2α = 2·sin α·cos α.sin 2α = 2 sin α cos α.

cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α.cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α.cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : cos 15° тун так маанисин тапкыла.Найдите точное значение cos 15°.Trouvez la valeur exacte de cos 15°.

15° = 45° − 30°. cos(α − β) = cos α·cos β + sin α·sin β.15° = 45° − 30°. cos(α − β) = cos α·cos β + sin α·sin β.15° = 45° − 30° et cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β.

cos 15° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.cos 15° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.cos 15° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : sin α = 4/5, α — биринчи чейректе. sin 2α менен cos 2α ны тапкыла.sin α = 4/5, α — в первой четверти. Найдите sin 2α и cos 2α.sin α = 4/5 et α dans le premier quadrant. Trouvez sin 2α et cos 2α.

cos α = √(1 − 16/25) = 3/5 (биринчи чейректе оң).cos α = √(1 − 16/25) = 3/5 (в первой четверти положителен).cos α = √(1 − 16/25) = 3/5 (positif dans le premier quadrant).

sin 2α = 2·sin α·cos α = 2·(4/5)·(3/5) = 24/25.sin 2α = 2·sin α·cos α = 2·(4/5)·(3/5) = 24/25.sin 2α = 2 sin α cos α = 2 × (4/5) × (3/5) = 24/25.

cos 2α = cos²α − sin²α = 9/25 − 16/25 = −7/25.cos 2α = cos²α − sin²α = 9/25 − 16/25 = −7/25.cos 2α = cos²α − sin²α = 9/25 − 16/25 = −7/25.

Көнүгүүлөр банкыБанк упражненийBanque d’exercices
  1. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseГрадустан радиангаИз градусов в радианыDegrés vers radiansбөлүмразделsection 12.1

    Радианга айландыргыла: 180° жана 90°.Переведите в радианы: 180° и 90°.Convertissez en radians : 180° et 90°.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. 180° = π ; 90° = π/2.180° = π ; 90° = π/2.180° = π et 90° = π/2.
  2. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseНегизги маанилерБазовые значенияValeurs de baseбөлүмразделsection 12.2

    cos 0, sin 0 жана cos π ни жазгыла.Запишите cos 0, sin 0 и cos π.Donnez cos 0, sin 0 et cos π.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. cos 0 = 1 ; sin 0 = 0 ; cos π = −1.cos 0 = 1 ; sin 0 = 0 ; cos π = −1.cos 0 = 1, sin 0 = 0 et cos π = −1.
  3. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseπ/3 бурчунун маанилериЗначения для π/3Valeurs remarquables (π/3)бөлүмразделsection 12.2

    cos(π/3) жана sin(π/3) тү жазгыла.Запишите cos(π/3) и sin(π/3).Donnez cos(π/3) et sin(π/3).

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. cos(π/3) = 1/2 ; sin(π/3) = √3/2.cos(π/3) = 1/2 ; sin(π/3) = √3/2.cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2.
  4. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseπ/4 бурчунун маанилериЗначения для π/4Valeurs remarquables (π/4)бөлүмразделsection 12.2

    cos(π/4) жана sin(π/4) тү жазгыла.Запишите cos(π/4) и sin(π/4).Donnez cos(π/4) et sin(π/4).

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Экөө тең √2/2 ге барабар.Оба равны √2/2.Les deux valent √2/2.
  5. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireКосинустуу теңдемеУравнение с косинусомÉquation avec cosinusбөлүмразделsection 12.2

    [0; 2π] аралыгында cos x = 1/2 теңдемесин чыгаргыла.Решите уравнение cos x = 1/2 на [0; 2π].Résolvez cos x = 1/2 sur [0 ; 2π].

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Айланада абсциссасы 1/2 болгон эки чекит бар: x = π/3 жана x = 5π/3.На окружности две точки с абсциссой 1/2: x = π/3 и x = 5π/3.Deux points du cercle ont pour abscisse 1/2 : x = π/3 et x = 5π/3.
  6. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireСинустуу теңдемеУравнение с синусомÉquation avec sinusбөлүмразделsection 12.2

    [0; 2π] аралыгында sin x = √2/2 теңдемесин чыгаргыла.Решите уравнение sin x = √2/2 на [0; 2π].Résolvez sin x = √2/2 sur [0 ; 2π].

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Ординатасы √2/2 болгон чекиттер: x = π/4 жана x = 3π/4.Точки с ординатой √2/2: x = π/4 и x = 3π/4.Les points d’ordonnée √2/2 : x = π/4 et x = 3π/4.
  7. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéНегизги теңдештикОсновное тождествоIdentité sin² + cos² = 1бөлүмразделsection 12.3

    cos x = 3/5 жана x ∈ [0; π/2] экени белгилүү. sin x ти тапкыла.Известно, что cos x = 3/5 и x ∈ [0; π/2]. Найдите sin x.On sait que cos x = 3/5 avec x ∈ [0 ; π/2]. Déterminez sin x.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. sin²x = 1 − cos²x = 1 − 9/25 = 16/25.sin²x = 1 − cos²x = 1 − 9/25 = 16/25.sin²x = 1 − cos²x = 1 − 9/25 = 16/25.
    2. x ∈ [0; π/2] болгондуктан sin x ≥ 0: sin x = 4/5.Так как x ∈ [0; π/2], sin x ≥ 0: sin x = 4/5.Comme x ∈ [0 ; π/2], sin x ≥ 0 : sin x = 4/5.
  8. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéБайланышкан бурчтарСвязанные углыAngles associésбөлүмразделsection 12.3

    cos(π − x) = −cos x формуласын колдонуп, cos(2π/3) тү эсептегиле.С помощью формулы cos(π − x) = −cos x вычислите cos(2π/3).En utilisant cos(π − x) = −cos x, calculez cos(2π/3).

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. 2π/3 = π − π/3, демек cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2.2π/3 = π − π/3, значит cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2.2π/3 = π − π/3, donc cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2.