Barsbilim Barsbilim
БөлүмГлаваChapitre 11 · 9-класс классe classe

Арифметикалык жана геометриялык прогрессияларАрифметическая и геометрическая прогрессииSuites arithmétiques et géométriques

I.Сан удаалаштыгыЧисловая последовательностьLes suites de nombres

АныктамаОпределениеDéfinition — Сан удаалаштыгыЧисловая последовательностьSuite de nombres

Удаалаштык эки жол менен берилет: жалпы мүчөнүн формуласы (мисалы aₙ = n²) же рекурренттик эреже (a₁ берилет, ар бир кийинки мүчө мурункусунан эсептелет). Мүчөлөр a₁ ден номерленет.Последовательность задаётся двумя способами: формулой общего члена (например aₙ = n²) или рекуррентным правилом (дано a₁, каждый следующий член вычисляется из предыдущего). Члены нумеруются с a₁.Une suite se définit de deux façons : par la formule du terme général (par exemple aₙ = n²) ou par récurrence (a₁ donné, chaque terme se calcule à partir du précédent). Les termes se numérotent à partir de a₁.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : aₙ = 3n − 2 удаалаштыгынын алгачкы төрт мүчөсүн жана a₂₀ ны эсептегиле.Вычислите первые четыре члена последовательности aₙ = 3n − 2 и член a₂₀.Calculez les quatre premiers termes de la suite aₙ = 3n − 2, puis a₂₀.

a₁ = 1, a₂ = 4, a₃ = 7, a₄ = 10.a₁ = 1, a₂ = 4, a₃ = 7, a₄ = 10.a₁ = 1, a₂ = 4, a₃ = 7, a₄ = 10.

a₂₀ = 3·20 − 2 = 58.a₂₀ = 3·20 − 2 = 58.a₂₀ = 3 × 20 − 2 = 58.

Формула менен түз эсептедик — 19 мурунку мүчөнүн кереги жок.Считаем напрямую по формуле — 19 предыдущих членов не нужны.Le calcul est direct — pas besoin des 19 termes précédents.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Удаалаштык рекурренттик түрдө берилген: c₁ = 40, cₙ₊₁ = cₙ/2 + 3. Алгачкы төрт мүчөсүн тапкыла.Последовательность задана рекуррентно: c₁ = 40, cₙ₊₁ = cₙ/2 + 3. Найдите первые четыре члена.Une suite est définie par récurrence : c₁ = 40 et cₙ₊₁ = cₙ/2 + 3. Trouvez les quatre premiers termes.

c₂ = 40/2 + 3 = 23; c₃ = 23/2 + 3 = 14,5; c₄ = 14,5/2 + 3 = 10,25.c₂ = 40/2 + 3 = 23; c₃ = 23/2 + 3 = 14,5; c₄ = 14,5/2 + 3 = 10,25.c₂ = 40/2 + 3 = 23 ; c₃ = 23/2 + 3 = 14,5 ; c₄ = 14,5/2 + 3 = 10,25.

Ар бир мүчө мурункусунан чыгат: c₁₀ ду билүү үчүн баарын кезек менен эсептөө керек.Каждый член получается из предыдущего: чтобы узнать c₁₀, придётся вычислить все по очереди.Chaque terme sort du précédent : pour connaître c₁₀, il faut tous les calculer l’un après l’autre.

II.Арифметикалык прогрессияАрифметическая прогрессияLa suite arithmétique

АныктамаОпределениеDéfinition — Арифметикалык прогрессияАрифметическая прогрессияSuite arithmétique

Ар бир мүчөсү мурункусунан бирдей d санына (айырма) чоң болгон удаалаштык: aₙ₊₁ = aₙ + d.Последовательность, каждый член которой больше предыдущего на одно и то же число d (разность): aₙ₊₁ = aₙ + d.Une suite dont chaque terme dépasse le précédent d’un même nombre d (la raison) : aₙ₊₁ = aₙ + d.

ТеоремаТеоремаThéorème — Жалпы мүчө жана суммаОбщий член и суммаTerme général et somme

n-мүчө: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Алгачкы n мүчөнүн суммасы:n-й член: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Сумма первых n членов:Le n-ième terme : aₙ = a₁ + (n − 1)d. La somme des n premiers termes :

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Арифметикалык прогрессияда a₁ = 8, d = 5. a₁₅ ти тапкыла.В арифметической прогрессии a₁ = 8, d = 5. Найдите a₁₅.Dans une suite arithmétique, a₁ = 8 et d = 5. Trouvez a₁₅.

aₙ = a₁ + (n − 1)d боюнча: a₁₅ = 8 + 14·5 = 8 + 70 = 78.По формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d: a₁₅ = 8 + 14·5 = 8 + 70 = 78.Avec aₙ = a₁ + (n − 1)d : a₁₅ = 8 + 14 × 5 = 8 + 70 = 78.

Сак болгула: 15 эмес, 14 кадам — биринчи мүчөдөн он бешинчиге чейин 14 секирик бар.Внимание: шагов 14, а не 15 — от первого члена до пятнадцатого 14 «прыжков».Attention : 14 pas, pas 15 — du premier terme au quinzième, il y a 14 « sauts ».

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Айгерим биринчи жумада 200 сом жыйнайт, ар бир кийинки жумада 30 сомго көбүрөөк. 20 жумада канча жыйнайт?Айгерим откладывает в первую неделю 200 сомов, а каждую следующую — на 30 сомов больше. Сколько она накопит за 20 недель?Aïgerim économise 200 soms la première semaine, puis 30 soms de plus chaque semaine. Combien aura-t-elle en 20 semaines ?

a₁ = 200, d = 30, a₂₀ = 200 + 19·30 = 770.a₁ = 200, d = 30, a₂₀ = 200 + 19·30 = 770.a₁ = 200, d = 30, donc a₂₀ = 200 + 19 × 30 = 770.

S₂₀ = (200 + 770)·20/2 = 970·10 = 9 700 сом.S₂₀ = (200 + 770)·20/2 = 970·10 = 9 700 сомов.S₂₀ = (200 + 770) × 20/2 = 970 × 10 = 9 700 soms.

III.Геометриялык прогрессияГеометрическая прогрессияLa suite géométrique

АныктамаОпределениеDéfinition — Геометриялык прогрессияГеометрическая прогрессияSuite géométrique

Ар бир мүчөсү мурункусунан бирдей q санына (знаменатель, q ≠ 0) көбөйтүлгөн удаалаштык: bₙ₊₁ = bₙ · q.Последовательность, каждый член которой получается из предыдущего умножением на одно и то же число q (знаменатель, q ≠ 0): bₙ₊₁ = bₙ · q.Une suite dont chaque terme s’obtient du précédent en multipliant par un même nombre q (la raison, q ≠ 0) : bₙ₊₁ = bₙ × q.

ТеоремаТеоремаThéorème — Жалпы мүчө жана суммаОбщий член и суммаTerme général et somme

n-мүчө: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Алгачкы n мүчөнүн суммасы (q ≠ 1):n-й член: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Сумма первых n членов (q ≠ 1):Le n-ième terme : bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹. La somme des n premiers termes (q ≠ 1) :

Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)

1 2 4 8 16 2⁰ 2¹ 2² 2³ 2⁴ ×2 ×2 ×2 ×2 bₙ = b₁·qⁿ⁻¹
Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Геометриялык прогрессияда b₁ = 5, q = 3. b₆ ны тапкыла.В геометрической прогрессии b₁ = 5, q = 3. Найдите b₆.Dans une suite géométrique, b₁ = 5 et q = 3. Trouvez b₆.

b₆ = b₁·q⁵ = 5·243 = 1215.b₆ = b₁·q⁵ = 5·243 = 1215.b₆ = b₁ × q⁵ = 5 × 243 = 1215.

Даража n − 1 = 5: бул жерде да «секириктердин» саны мүчөлөрдөн бирге аз.Показатель n − 1 = 5: здесь тоже «прыжков» на один меньше, чем членов.L’exposant vaut n − 1 = 5 : ici aussi, un « saut » de moins que de termes.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : S = 4 + 8 + 16 + … + 512 суммасын эсептегиле.Вычислите сумму S = 4 + 8 + 16 + … + 512.Calculez la somme S = 4 + 8 + 16 + … + 512.

b₁ = 4, q = 2.b₁ = 4, q = 2.b₁ = 4, q = 2.

512 = 4·2ⁿ⁻¹ ⇒ 2ⁿ⁻¹ = 128 = 2⁷ ⇒ n = 8.512 = 4·2ⁿ⁻¹ ⇒ 2ⁿ⁻¹ = 128 = 2⁷ ⇒ n = 8.512 = 4 × 2ⁿ⁻¹ ⇒ 2ⁿ⁻¹ = 128 = 2⁷ ⇒ n = 8.

S₈ = 4·(2⁸ − 1)/(2 − 1) = 4·255 = 1020.S₈ = 4·(2⁸ − 1)/(2 − 1) = 4·255 = 1020.S₈ = 4 × (2⁸ − 1)/(2 − 1) = 4 × 255 = 1020.

IV.Чексиз кемүүчү геометриялык прогрессияБесконечно убывающая геометрическая прогрессияLa suite géométrique infinie de raison |q| < 1

ТеоремаТеоремаThéorème — Чексиз кемүүчү прогрессиянын суммасыСумма бесконечно убывающей прогрессииSomme d’une suite géométrique infinie

|q| < 1 болгондо чексиз көп мүчөнүн суммасы чектүү санга барабар:При |q| < 1 сумма бесконечного числа членов равна конечному числу:Quand |q| < 1, la somme d’une infinité de termes vaut un nombre fini :

S = b₁/(1 − q)

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : S = 18 + 6 + 2 + 2/3 + … суммасын эсептегиле.Вычислите сумму S = 18 + 6 + 2 + 2/3 + …Calculez S = 18 + 6 + 2 + 2/3 + …

b₁ = 18, q = 6/18 = 1/3, |q| < 1: формула колдонулат.b₁ = 18, q = 6/18 = 1/3, |q| < 1: формула применима.b₁ = 18, q = 6/18 = 1/3 et |q| < 1 : la formule s’applique.

S = 18/(1 − 1/3) = 18/(2/3) = 27.S = 18/(1 − 1/3) = 18/(2/3) = 27.S = 18/(1 − 1/3) = 18/(2/3) = 27.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : 0,(7) = 0,777… мезгилдүү бөлчөктү жөнөкөй бөлчөккө айландыргыла.Переведите периодическую дробь 0,(7) = 0,777… в обыкновенную.Transformez le développement périodique 0,(7) = 0,777… en fraction.

0,777… = 0,7 + 0,07 + 0,007 + … — геометриялык прогрессия: b₁ = 7/10, q = 1/10.0,777… = 0,7 + 0,07 + 0,007 + … — геометрическая прогрессия: b₁ = 7/10, q = 1/10.0,777… = 0,7 + 0,07 + 0,007 + … : une suite géométrique avec b₁ = 7/10 et q = 1/10.

S = (7/10)/(1 − 1/10) = (7/10)/(9/10) = 7/9.S = (7/10)/(1 − 1/10) = (7/10)/(9/10) = 7/9.S = (7/10)/(1 − 1/10) = (7/10)/(9/10) = 7/9.

Демек 0,(7) = 7/9.Значит 0,(7) = 7/9.Donc 0,(7) = 7/9.

Көнүгүүлөр банкыБанк упражненийBanque d’exercices
  1. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseФормула боюнча удаалаштыкПоследовательность по формулеSuite expliciteбөлүмразделsection 11.1

    aₙ = 2n − 1 болсун. a₁, a₂ жана a₆ ны эсептегиле.Пусть aₙ = 2n − 1. Вычислите a₁, a₂ и a₆.Soit aₙ = 2n − 1. Calculez a₁, a₂ et a₆.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. a₁ = 1, a₂ = 3, a₆ = 11.a₁ = 1, a₂ = 3, a₆ = 11.a₁ = 1, a₂ = 3 et a₆ = 11.
  2. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseРекурренттик удаалаштыкРекуррентная последовательностьSuite par récurrenceбөлүмразделsection 11.1

    c₁ = 2 жана cₙ₊₁ = 3cₙ − 1 болсун. c₂ менен c₃ тү эсептегиле.Пусть c₁ = 2 и cₙ₊₁ = 3cₙ − 1. Вычислите c₂ и c₃.Soit c₁ = 2 et cₙ₊₁ = 3cₙ − 1. Calculez c₂ et c₃.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. c₂ = 3·2 − 1 = 5 ; c₃ = 3·5 − 1 = 14.c₂ = 3·2 − 1 = 5 ; c₃ = 3·5 − 1 = 14.c₂ = 3 × 2 − 1 = 5 ; c₃ = 3 × 5 − 1 = 14.
  3. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseАрифметикалык прогрессиянын алгачкы мүчөлөрүПервые члены арифметической прогрессииPremiers termes (arithmétique)бөлүмразделsection 11.2

    Арифметикалык прогрессияда a₁ = 3, айырмасы d = 2. a₂, a₃, a₄ тү жазгыла.В арифметической прогрессии a₁ = 3, разность d = 2. Запишите a₂, a₃, a₄.Suite arithmétique de premier terme a₁ = 3 et de raison d = 2. Donnez a₂, a₃ et a₄.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Ар бир жолу 2 кошобуз: a₂ = 5, a₃ = 7, a₄ = 9.Каждый раз прибавляем 2: a₂ = 5, a₃ = 7, a₄ = 9.On ajoute 2 à chaque fois : a₂ = 5, a₃ = 7 et a₄ = 9.
  4. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseГеометриялык прогрессиянын алгачкы мүчөлөрүПервые члены геометрической прогрессииPremiers termes (géométrique)бөлүмразделsection 11.3

    Геометриялык прогрессияда b₁ = 1, знаменатели q = 2. b₂, b₃, b₄ тү жазгыла.В геометрической прогрессии b₁ = 1, знаменатель q = 2. Запишите b₂, b₃, b₄.Suite géométrique de premier terme b₁ = 1 et de raison q = 2. Donnez b₂, b₃ et b₄.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. 2 ге көбөйтөбүз: b₂ = 2, b₃ = 4, b₄ = 8.Умножаем на 2: b₂ = 2, b₃ = 4, b₄ = 8.On multiplie par 2 : b₂ = 2, b₃ = 4 et b₄ = 8.
  5. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireЖалпы мүчө (арифметикалык)Общий член (арифметическая)Terme général (arithmétique)бөлүмразделsection 11.2

    Арифметикалык прогрессияда a₁ = 5, d = 3. a₁₁ ди эсептегиле.В арифметической прогрессии a₁ = 5, d = 3. Вычислите a₁₁.Suite arithmétique avec a₁ = 5 et d = 3. Calculez a₁₁.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. aₙ = a₁ + (n − 1)d, демек a₁₁ = 5 + 10·3 = 35.aₙ = a₁ + (n − 1)d, значит a₁₁ = 5 + 10·3 = 35.aₙ = a₁ + (n − 1)d, donc a₁₁ = 5 + 10 × 3 = 35.
  6. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireНатуралдык сандардын суммасыСумма натуральных чиселSomme des entiersбөлүмразделsection 11.2

    1 + 2 + 3 + … + 100 суммасын эсептегиле.Вычислите сумму 1 + 2 + 3 + … + 100.Calculez 1 + 2 + 3 + … + 100.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Арифметикалык прогрессиянын суммасы: (1 + 100)·100/2 = 5050.Сумма арифметической прогрессии: (1 + 100)·100/2 = 5050.Somme arithmétique : (1 + 100) × 100/2 = 5050.
  7. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireЖалпы мүчө (геометриялык)Общий член (геометрическая)Terme général (géométrique)бөлүмразделsection 11.3

    Геометриялык прогрессияда b₁ = 2, q = 3. b₅ ти эсептегиле.В геометрической прогрессии b₁ = 2, q = 3. Вычислите b₅.Suite géométrique avec b₁ = 2 et q = 3. Calculez b₅.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, демек b₅ = 2·3⁴ = 2·81 = 162.bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, значит b₅ = 2·3⁴ = 2·81 = 162.bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹, donc b₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
  8. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéАрифметикалык мүчөлөрдүн суммасыСумма членов арифметической прогрессииSomme de termes arithmétiquesбөлүмразделsection 11.2

    Арифметикалык прогрессияда a₁ = 4, d = 2. S = a₁ + a₂ + … + a₁₀ суммасын эсептегиле.В арифметической прогрессии a₁ = 4, d = 2. Вычислите S = a₁ + a₂ + … + a₁₀.Suite arithmétique avec a₁ = 4 et d = 2. Calculez S = a₁ + a₂ + … + a₁₀.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. 10 мүчө; a₁₀ = 4 + 9·2 = 22.10 членов; a₁₀ = 4 + 9·2 = 22.10 termes ; a₁₀ = 4 + 9 × 2 = 22.
    2. S = (a₁ + a₁₀)·10/2 = (4 + 22)·5 = 130.S = (a₁ + a₁₀)·10/2 = (4 + 22)·5 = 130.S = (a₁ + a₁₀) × 10/2 = (4 + 22) × 5 = 130.
  9. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéГеометриялык мүчөлөрдүн суммасыСумма членов геометрической прогрессииSomme de termes géométriquesбөлүмразделsection 11.3

    S = 1 + 2 + 4 + … + 2⁹ суммасын эсептегиле.Вычислите сумму S = 1 + 2 + 4 + … + 2⁹.Calculez S = 1 + 2 + 4 + … + 2⁹.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. b₁ = 1, q = 2, 10 мүчө.b₁ = 1, q = 2, 10 членов.b₁ = 1, q = 2 et 10 termes.
    2. S = (2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 1023.S = (2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 1023.S = (2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 1023.
  10. Эксперт деңгээлиЭкспертный уровеньNiveau expertУдаалаштыктын өсүшүн изилдөөИсследование монотонностиSens de variationбөлүмразделsection 11.1

    aₙ₊₁ − aₙ айырманы эсептеп, aₙ = n² − 4n удаалаштыгынын өсүшүн изилдегиле.Вычислив разность aₙ₊₁ − aₙ, исследуйте монотонность последовательности aₙ = n² − 4n.En calculant aₙ₊₁ − aₙ, étudiez le sens de variation de la suite aₙ = n² − 4n.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. aₙ₊₁ − aₙ = (n + 1)² − 4(n + 1) − (n² − 4n) = 2n + 1 − 4 = 2n − 3.aₙ₊₁ − aₙ = (n + 1)² − 4(n + 1) − (n² − 4n) = 2n + 1 − 4 = 2n − 3.aₙ₊₁ − aₙ = (n + 1)² − 4(n + 1) − (n² − 4n) = 2n + 1 − 4 = 2n − 3.
    2. n ≥ 2 болгондо 2n − 3 > 0: удаалаштык n = 2 ден баштап өсөт.При n ≥ 2 имеем 2n − 3 > 0: последовательность возрастает начиная с n = 2.Pour n ≥ 2, 2n − 3 > 0 : la suite est croissante à partir de n = 2.