ФункцияларФункцииLa notion de fonction
I.Функция — сандар машинасыФункция — машина для чиселLa fonction : une machine à nombres
f функциясы ар бир x санына (кирүү) f(x) деп белгиленген БИР ГАНА санды (чыгуу) туура келтирет.Функция f ставит в соответствие каждому числу x (вход) РОВНО ОДНО число f(x) (выход).Une fonction f associe à chaque nombre x (l’entrée) UN SEUL nombre noté f(x) (la sortie).
f(x) — x тин образы (образ ЖАЛГЫЗ); x — f(x) тин прообразы (бир сандын бир нече прообразы болушу мүмкүн, же таптакыр болбошу мүмкүн).f(x) — образ числа x (образ ЕДИНСТВЕННЫЙ); x — прообраз числа f(x) (у числа может быть несколько прообразов или ни одного).f(x) est l’image de x (l’image est UNIQUE) ; x est un antécédent de f(x) (un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun).
Жазылышы: f(2) = 5 «f боюнча 2 нин образы 5» деп окулат — демек 2 саны 5 тин БИР прообразы. Окуу багыты — главанын бүт кыйынчылыгы ушул.Запись: f(2) = 5 читается «образ числа 2 при f равен 5» — значит 2 есть ОДИН прообраз числа 5. Направление чтения — в этом вся трудность главы.Écriture : f(2) = 5 se lit « l’image de 2 par f est 5 », et donc 2 est UN antécédent de 5. Le sens de lecture est toute la difficulté du chapitre.
Машинаны ТУУРА багытта иштетүү — образды эсептөө: ордуна коёбуз, эсептейбиз, бүттү.Запустить машину В ПРЯМОМ направлении — вычислить образ: подставляем, считаем, готово.Faire tourner la machine à l’endroit, c’est calculer une image : on remplace, on calcule, c’est fini.
Машинаны ТЕСКЕРИ иштетүү (чыгууну билем, кирүүнү издейм) — прообраз издөө: бул жолу ТЕҢДЕМЕ чыгаруу керек. Ал эми теңдеменин бир нече чечими болушу мүмкүн, же эч бири жок: главанын бүт «асимметриясы» ушунда.Запустить машину В ОБРАТНУЮ сторону (знаю выход, ищу вход) — искать прообраз: на этот раз надо решить УРАВНЕНИЕ. А у уравнения может быть несколько решений или ни одного: в этом вся «несимметричность» главы.Faire tourner la machine à l’envers (je connais la sortie, je cherche l’entrée), c’est chercher un antécédent : cette fois il faut résoudre une équation. Et l’équation peut avoir plusieurs solutions, ou aucune : c’est toute la dissymétrie du chapitre.
II.БИР образ, бирок БИР НЕЧЕ прообразОДИН образ, но НЕСКОЛЬКО прообразовUNE image, mais DES antécédents
Функциянын графигинде: ар бир вертикал (x = a түз сызыгы) графикти ЭҢ КӨП БИР ЖОЛУ кесет — бир сандын бир гана образы бар.На графике функции: любая вертикаль (прямая x = a) пересекает график НЕ БОЛЕЕ ОДНОГО РАЗА — у числа только один образ.Sur la courbe d’une fonction : toute verticale (une droite x = a) coupe la courbe au plus une fois — un nombre a une seule image.
Горизонтал (y = k түз сызыгы) графикти 0, 1, 2 же андан көп жолу кесиши мүмкүн — бир сандын бир нече прообразы болушу мүмкүн, же жок.Горизонталь (прямая y = k) может пересечь график 0, 1, 2 раза или больше — у числа может быть несколько прообразов или ни одного.Une horizontale (une droite y = k) peut la couper 0, 1, 2 fois ou plus — un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
Бул кошумча касиет эмес: бул — «функция» деген сөздүн аныктамасы, сүрөттөн окулганы. Вертикал эки жолу кескен сызык функциянын графиги ЭМЕС.Это не дополнительное свойство: это само определение слова «функция», прочитанное на рисунке. Линия, которую вертикаль пересекает дважды, НЕ является графиком функции.Ce n’est pas une propriété de plus : c’est la définition même du mot « fonction », lue sur le dessin. Un tracé qu’une verticale coupe deux fois n’est pas la courbe d’une fonction.
III.Образды эсептөө, прообразды издөөВычислить образ, найти прообразCalculer une image, chercher un antécédent
f(x) = 3x − 5 боюнча 4 түн образы: ОРДУНА КОЁБУЗ — f(4) = 7: жөнөкөй эсеп.Образ числа 4 при f(x) = 3x − 5: ПОДСТАВЛЯЕМ — f(4) = 7: простое вычисление.Image de 4 par f(x) = 3x − 5 : on REMPLACE : f(4) = 7 : un simple calcul.
7 нин прообраздары: 3x − 5 = 7 теңдемесин ЧЫГАРАБЫЗ (x = 4).Прообразы числа 7: РЕШАЕМ уравнение 3x − 5 = 7 (x = 4).Antécédent(s) de 7 : on RÉSOUT 3x − 5 = 7 : une équation (x = 4).
Образ = түз эсеп; прообраз = теңдеме. Квадрат болгондо теңдеменин ЭКИ чечими болушу мүмкүн: x² функциясы боюнча 9 дун прообраздары — 3 ЖАНА −3.Образ = прямое вычисление; прообраз = уравнение. С квадратом у уравнения может быть ДВА решения: прообразы числа 9 при x² — это 3 И −3.Image = calcul direct ; antécédent = équation. Avec un carré, l’équation peut avoir DEUX solutions : les antécédents de 9 par x² sont 3 ET −3.
IV.Бир функция — төрт келбетОдна функция — четыре обликаUne fonction, quatre visages
Бир эле функция төрт «кийимде» келет: эсептөө программасы (сөз менен), формула, маанилер таблицасы, график.Одна и та же функция приходит в четырёх «одеждах»: программа вычислений (словами), формула, таблица значений, график.Une même fonction se présente sous quatre habits : un programme de calcul (en mots), une formule, un tableau de valeurs, une courbe.
Бул төрт башка нерсе эмес: төрт жагынан каралган БИР нерсе. Тапшырма төрттүн бирин берип, экинчисин окууну сурайт: биринен экинчисине өтө билүү — главанын жарымы.Это не четыре объекта: это ОДИН объект, увиденный с четырёх сторон. Задание даёт один из четырёх и просит прочитать другой: уметь переходить от одного к другому — половина главы.Ce ne sont pas quatre objets : c’est un seul objet vu de quatre côtés. Un exercice donne l’un des quatre et demande d’en lire un autre : savoir passer de l’un à l’autre, c’est la moitié du chapitre.
V.Графикти окууЧтение графикаLire une courbe
f тин графиги — бардык (x; f(x)) чекиттеринин көптүгү.График f — множество всех точек (x; f(x)).La courbe de f est l’ensemble des points (x ; f(x)).
a нын образын окуу: ГОРИЗОНТАЛДЫК октогу a дан баштап, графикке чейин көтөрүл, вертикалдык окто оку.Прочитать образ числа a: от a на ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ оси поднимись до графика, прочитай на вертикальной оси.Lire l’image de a : partir de a sur l’axe HORIZONTAL, monter à la courbe, lire sur l’axe vertical.
k нын прообраздарын окуу: ВЕРТИКАЛДЫК октогу k дан баштап, горизонталды тарт, кесилиштердин БАРДЫК абсциссаларын оку.Прочитать прообразы числа k: от k на ВЕРТИКАЛЬНОЙ оси проведи горизонталь, прочитай ВСЕ абсциссы пересечений.Lire les antécédents de k : partir de k sur l’axe VERTICAL, tracer l’horizontale, lire TOUTES les abscisses des intersections.
f(x) = k ны график боюнча чыгаруу — так эле k нын прообраздарын издөө. (a; b) чекити графикте жатат ⟺ f(a) = b: таандыктык сынагы, тапшырмаларда өтө көп кездешет.Решить f(x) = k графически — это ровно поиск прообразов k. Точка (a; b) лежит на графике ⟺ f(a) = b: тест принадлежности, очень частый в заданиях.Résoudre f(x) = k graphiquement, c’est exactement chercher les antécédents de k. Un point (a ; b) est sur la courbe ⟺ f(a) = b : le test d’appartenance, très fréquent en exercice.
VI.Аныкталуу областыОбласть определенияL’ensemble de définition
f тин аныкталуу областы D(f) — f(x) БАР БОЛГОН x тердин көптүгү. Эки тыюу: нөлгө бөлүүгө болбойт — f(x) = 1/(x − 3) x ≠ 3 үчүн аныкталган; терс сандан квадраттык тамыр алууга болбойт — g(x) = √(x − 3) x ≥ 3 үчүн аныкталган.Область определения D(f) — множество тех x, для которых f(x) СУЩЕСТВУЕТ. Два запрета: делить на ноль нельзя — f(x) = 1/(x − 3) определена при x ≠ 3; корень из отрицательного нельзя — g(x) = √(x − 3) определена при x ≥ 3.L’ensemble de définition D(f) regroupe les x pour lesquels f(x) EXISTE. Deux interdits : diviser par zéro — f(x) = 1/(x − 3) est définie pour x ≠ 3 ; racine carrée d’un négatif — g(x) = √(x − 3) est définie pour x ≥ 3.
Сүрөттө бул жазуу майдалыгы эмес: функция жок жерде ГРАФИК ДА ЖОК. Сызык үзүлөт.На рисунке это не тонкость записи: там, где функции нет, НЕТ И ГРАФИКА. Линия прерывается.Sur le dessin, ce n’est pas une subtilité d’écriture : là où la fonction n’existe pas, il n’y a pas de courbe. Le tracé s’interrompt.
VII.Сөздүктүн тузактарыЛовушки словаряLes pièges du vocabulaire
Ар бир x тин так БИР образы бар (болбосо f функция эмес); бирок бир сандын 0, 1 же бир нече прообразы болушу мүмкүн. Графикте: ар бир ВЕРТИКАЛ графикти эң көп бир жолу кесет; ГОРИЗОНТАЛ бир нече жолу кесиши мүмкүн.У каждого x ровно ОДИН образ (иначе f не функция); но у числа может быть 0, 1 или несколько прообразов. На графике: любая ВЕРТИКАЛЬ пересекает график не более одного раза; ГОРИЗОНТАЛЬ может пересечь несколько раз.Chaque x a exactement UNE image (sinon f n’est pas une fonction) ; mais un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents. Sur une courbe : toute VERTICALE coupe la courbe au plus une fois ; une HORIZONTALE peut la couper plusieurs fois.
f — функция (машина); f(x) — САН (x кирүүсүнө чыккан чыгуу). «f(x) = 2x + 1 функциясы» деп жазууга жол берилет, бирок ой жүгүртүүдө машинаны анын чыгууларынан айырмалоо көп чаташуудан сактайт.f — функция (машина); f(x) — ЧИСЛО (выход для входа x). Писать «функция f(x) = 2x + 1» допустимо, но в рассуждениях различать машину и её выходы — значит избежать многих путаниц.f est la fonction (la machine) ; f(x) est un NOMBRE (la sortie pour l’entrée x). Écrire « la fonction f(x) = 2x + 1 » est toléré, mais dans les raisonnements, distinguer la machine de ses sorties évite bien des confusions.
▶ Өзүң чыгар: f(x) = x² − 4. f(3) тү эсепте, анан 0 дүн БАРДЫК прообраздарын тап. ТекшерТвоя очередь: f(x) = x² − 4. Вычисли f(3), затем найди ВСЕ прообразы нуля. ПроверьÀ toi : f(x) = x² − 4. Calcule f(3), puis trouve TOUS les antécédents de 0. Vérifie
f(3) = 9 − 4 = 5.f(3) = 9 − 4 = 5.f(3) = 9 − 4 = 5.
0 дүн прообраздары: x² − 4 = 0 ⟺ (x − 2)(x + 2) = 0: 2 жана −2 (эки прообраз!).Прообразы нуля: x² − 4 = 0 ⟺ (x − 2)(x + 2) = 0: 2 и −2 (два прообраза!).Antécédents de 0 : x² − 4 = 0 ⟺ (x − 2)(x + 2) = 0 : 2 et −2 (deux antécédents !).
VIII.Өсүүчү, кемүүчү, жуп жана так функцияларВозрастание, убывание, чётностьCroissance, décroissance, parité
Функция аралыкта ӨСҮҮЧҮ, эгер x чоңойгондо f(x) да чоңойсо: графиги солдон оңго өйдө көтөрүлөт.Функция ВОЗРАСТАЕТ на промежутке, если с ростом x растёт и f(x): график поднимается слева направо.Une fonction est CROISSANTE sur un intervalle si f(x) augmente quand x augmente : la courbe monte de gauche à droite.
КЕМҮҮЧҮ — тескерисинче: x чоңойгондо f(x) кичирейет, график ылдый түшөт.УБЫВАЕТ — наоборот: с ростом x значение f(x) уменьшается, график опускается.DÉCROISSANTE, c’est l’inverse : quand x augmente, f(x) diminue, la courbe descend.
f(−x) = f(x) болсо, функция ЖУП: графиги Oy огуна карата симметриялуу (мисалы x²).Если f(−x) = f(x), функция ЧЁТНАЯ: график симметричен относительно оси Oy (например x²).Si f(−x) = f(x), la fonction est PAIRE : graphique symétrique par rapport à l’axe Oy (par exemple x²).
f(−x) = −f(x) болсо, функция ТАК: графиги координаталар башталышына карата симметриялуу (мисалы x³).Если f(−x) = −f(x), функция НЕЧЁТНАЯ: график симметричен относительно начала координат (например x³).Si f(−x) = −f(x), la fonction est IMPAIRE : graphique symétrique par rapport à l’origine (par exemple x³).
Текшерүү кадамы дайыма бирдей: f(−x) ти эсептеп, f(x) ке жана −f(x) ке салыштыр.Шаг проверки всегда один: вычисли f(−x) и сравни с f(x) и с −f(x).Le geste de vérification est toujours le même : calculer f(−x) et le comparer à f(x) et à −f(x).
f(−x) = (−x)⁴ − 5(−x)² = x⁴ − 5x².f(−x) = (−x)⁴ − 5(−x)² = x⁴ − 5x².f(−x) = (−x)⁴ − 5(−x)² = x⁴ − 5x².
f(−x) = f(x): функция жуп, графиги Oy огуна карата симметриялуу.f(−x) = f(x): функция чётная, график симметричен относительно Oy.f(−x) = f(x) : la fonction est paire, son graphique est symétrique par rapport à Oy.