Barsbilim Barsbilim
БөлүмГлаваChapitre 10 · 9-класс классe classe

Квадраттык функцияКвадратичная функцияLa fonction du second degré

I.Функция деген эмне?Что такое функция?Qu’est-ce qu’une fonction ?

АныктамаОпределениеDéfinition — ФункцияФункцияFonction

Ар бир x санына бир гана f(x) маанисин туура келтирген эреже функция деп аталат. x алууга мүмкүн болгон сандардын көптүгү — аныкталуу область.Функция — это правило, которое каждому числу x ставит в соответствие ровно одно значение f(x). Множество допустимых x — область определения.Une fonction est une règle qui associe à chaque nombre x une seule valeur f(x). L’ensemble des x permis est l’ensemble de définition.

АныктамаОпределениеDéfinition — Жуп жана так функцияларЧётные и нечётные функцииParité

f(−x) = f(x) болсо, функция жуп (графиги Oy огуна карата симметриялуу). f(−x) = −f(x) болсо — так (графиги координаталар башталышына карата симметриялуу).Если f(−x) = f(x), функция чётная (график симметричен относительно оси Oy). Если f(−x) = −f(x) — нечётная (график симметричен относительно начала координат).Si f(−x) = f(x), la fonction est paire (graphique symétrique par rapport à Oy). Si f(−x) = −f(x), elle est impaire (symétrie par rapport à l’origine).

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : g(x) = 6/(x − 4) функциясынын аныкталуу областын тапкыла.Найдите область определения функции g(x) = 6/(x − 4).Déterminez l’ensemble de définition de g(x) = 6/(x − 4).

Бөлчөктүн бөлүмү нөлгө барабар болбошу керек: x − 4 ≠ 0.Знаменатель дроби не должен равняться нулю: x − 4 ≠ 0.Le dénominateur ne doit pas s’annuler : x − 4 ≠ 0.

Демек x ≠ 4: аныкталуу область — 4 төн башка бардык сандар.Значит x ≠ 4: область определения — все числа, кроме 4.Donc x ≠ 4 : l’ensemble de définition est constitué de tous les nombres sauf 4.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : f(x) = x⁴ − 5x² функциясы жупбу же такпы?Функция f(x) = x⁴ − 5x² — чётная или нечётная?La fonction f(x) = x⁴ − 5x² est-elle paire ou impaire ?

f(−x) ти эсептейбиз: (−x)⁴ − 5(−x)² = x⁴ − 5x².Вычислим f(−x): (−x)⁴ − 5(−x)² = x⁴ − 5x².Calculons f(−x) : (−x)⁴ − 5(−x)² = x⁴ − 5x².

f(−x) = f(x), демек функция жуп.f(−x) = f(x), значит функция чётная.f(−x) = f(x) : la fonction est paire.

Графиги Oy огуна карата симметриялуу.Её график симметричен относительно оси Oy.Son graphique est symétrique par rapport à l’axe Oy.

II.Квадраттык үч мүчө жана анын тамырларыКвадратный трёхчлен и его корниLe trinôme et ses racines

АныктамаОпределениеDéfinition — Квадраттык үч мүчөКвадратный трёхчленTrinôme du second degré

ax² + bx + c түрүндөгү туюнтма (a ≠ 0). Анын дискриминанты:Выражение вида ax² + bx + c (a ≠ 0). Его дискриминант:Une expression de la forme ax² + bx + c (a ≠ 0). Son discriminant :

D = b² − 4ac

ТеоремаТеоремаThéorème — Тамырлардын саныЧисло корнейNombre de racines

D > 0: эки тамыр — x = (−b − √D)/(2a) жана x = (−b + √D)/(2a).D > 0: два корня — x = (−b − √D)/(2a) и x = (−b + √D)/(2a).D > 0 : deux racines, x = (−b − √D)/(2a) et x = (−b + √D)/(2a).

D = 0: бир (кош) тамыр x = −b/(2a).D = 0: один (двойной) корень x = −b/(2a).D = 0 : une racine double x = −b/(2a).

D < 0: чыныгы тамыры жок.D < 0: действительных корней нет.D < 0 : pas de racine réelle.

КасиетСвойствоPropriété — Көбөйтүүчүлөргө ажыратууРазложение на множителиFactorisation

Тамырлары x₁ жана x₂ болсо:Если корни x₁ и x₂, то:Si les racines sont x₁ et x₂ :

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : x² − 5x − 14 = 0 теңдемесин чыгаргыла.Решите уравнение x² − 5x − 14 = 0.Résolvez x² − 5x − 14 = 0.

D = (−5)² − 4·1·(−14) = 25 + 56 = 81 > 0: эки тамыр бар.D = (−5)² − 4·1·(−14) = 25 + 56 = 81 > 0: два корня.D = (−5)² − 4 × 1 × (−14) = 25 + 56 = 81 > 0 : deux racines.

√D = 9.√D = 9.√D = 9.

x = (5 − 9)/2 = −2 же x = (5 + 9)/2 = 7.x = (5 − 9)/2 = −2 или x = (5 + 9)/2 = 7.x = (5 − 9)/2 = −2 ou x = (5 + 9)/2 = 7.

Текшерүү: (−2)² − 5·(−2) − 14 = 4 + 10 − 14 = 0.Проверка: (−2)² − 5·(−2) − 14 = 4 + 10 − 14 = 0.Vérification : (−2)² − 5 × (−2) − 14 = 4 + 10 − 14 = 0.

Туура.Верно.Exact.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : 3x² + x − 2 квадраттык үч мүчөнү көбөйтүүчүлөргө ажыраткыла.Разложите на множители трёхчлен 3x² + x − 2.Factorisez le trinôme 3x² + x − 2.

D = 1 + 24 = 25, √D = 5.D = 1 + 24 = 25, √D = 5.D = 1 + 24 = 25, √D = 5.

Тамырлары: x₁ = (−1 − 5)/6 = −1, x₂ = (−1 + 5)/6 = 2/3.Корни: x₁ = (−1 − 5)/6 = −1, x₂ = (−1 + 5)/6 = 2/3.Racines : x₁ = (−1 − 5)/6 = −1 et x₂ = (−1 + 5)/6 = 2/3.

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) формуласы боюнча: 3(x + 1)(x − 2/3) = (x + 1)(3x − 2).По формуле ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂): 3(x + 1)(x − 2/3) = (x + 1)(3x − 2).Avec ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) : 3(x + 1)(x − 2/3) = (x + 1)(3x − 2).

III.Квадраттык функциянын графиги — параболаГрафик квадратичной функции — параболаLe graphique : la parabole

КасиетСвойствоPropriété — Параболанын чокусуВершина параболыSommet de la parabole

y = ax² + bx + c графиги — парабола. Чокусунун абсциссасы x₀ = −b/(2a), ординатасы — ошол чекиттеги функциянын мааниси. x = x₀ түз сызыгы — симметрия огу.График y = ax² + bx + c — парабола. Абсцисса вершины x₀ = −b/(2a), ордината — значение функции в этой точке. Прямая x = x₀ — ось симметрии.Le graphique de y = ax² + bx + c est une parabole. L’abscisse du sommet est x₀ = −b/(2a) ; son ordonnée est la valeur de la fonction en ce point. La droite x = x₀ est l’axe de symétrie.

x₀ = −b/(2a)

КасиетСвойствоPropriété — Бутактардын багытыНаправление ветвейOrientation des branches

a > 0 болсо бутактары өйдө карайт (чокусу — эң кичине маани), a < 0 болсо ылдый (чокусу — эң чоң маани). y = (x − m)² + n графиги — y = x² оңго m ге, өйдө n ге жылганы; чокусу (m; n).При a > 0 ветви направлены вверх (вершина — наименьшее значение), при a < 0 — вниз (вершина — наибольшее). График y = (x − m)² + n — это y = x², сдвинутый на m вправо и n вверх; вершина (m; n).Si a > 0, branches vers le haut (le sommet donne le minimum) ; si a < 0, vers le bas (maximum). Le graphique de y = (x − m)² + n est y = x² glissé de m à droite et n vers le haut ; sommet (m ; n).

O x y x₁ x₂ S x = x₀
Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : y = x² − 8x + 11 параболасынын чокусун тапкыла.Найдите вершину параболы y = x² − 8x + 11.Trouvez le sommet de la parabole y = x² − 8x + 11.

Чокунун абсциссасы: x₀ = −b/(2a) = 8/2 = 4.Абсцисса вершины: x₀ = −b/(2a) = 8/2 = 4.Abscisse du sommet : x₀ = −b/(2a) = 8/2 = 4.

Ординатасы: y₀ = 4² − 8·4 + 11 = 16 − 32 + 11 = −5.Ордината: y₀ = 4² − 8·4 + 11 = 16 − 32 + 11 = −5.Ordonnée : y₀ = 4² − 8 × 4 + 11 = 16 − 32 + 11 = −5.

Чокусу: (4; −5).Вершина: (4; −5).Sommet : (4 ; −5).

a = 1 > 0: бутактары өйдө, демек (4; −5) — функциянын эң кичине мааниси.a = 1 > 0: ветви вверх, значит (4; −5) — наименьшее значение функции.a = 1 > 0 : branches vers le haut, donc (4 ; −5) donne le minimum de la fonction.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Көпүрөнүн аркасы y = −0,08x² + 1,6x (метр менен). Аркбалдын эң бийик жерин тапкыла.Арка моста задана формулой y = −0,08x² + 1,6x (в метрах). Найдите её наибольшую высоту.L’arche du pont suit y = −0,08x² + 1,6x (en mètres). Trouvez sa hauteur maximale.

x₀ = −b/(2a) = −1,6/(−0,16) = 10 м.x₀ = −b/(2a) = −1,6/(−0,16) = 10 м.x₀ = −b/(2a) = −1,6/(−0,16) = 10 m.

y₀ = −0,08·100 + 1,6·10 = −8 + 16 = 8.y₀ = −0,08·100 + 1,6·10 = −8 + 16 = 8.y₀ = −0,08 × 100 + 1,6 × 10 = −8 + 16 = 8.

Эң бийик жери — 8 м, ортосунда.Наибольшая высота — 8 м, посередине.La hauteur maximale est 8 m, au milieu.

IV.Квадраттык барабарсыздыктарКвадратные неравенстваLes inéquations du second degré

ТеоремаТеоремаThéorème — Квадраттык үч мүчөнүн белгисиЗнак квадратного трёхчленаSigne du trinôme

D > 0 болсо: үч мүчө тамырлардын сыртында a нын белгисинде, тамырлардын ортосунда — карама-каршы белгиде.Если D > 0: вне корней трёхчлен имеет знак a, между корнями — противоположный.Si D > 0 : le trinôme a le signe de a à l’extérieur des racines, le signe contraire entre elles.

D < 0 болсо: бардык жерде a нын белгисинде.Если D < 0: всюду знак a.Si D < 0 : partout le signe de a.

ЫкмаМетодMéthode — Интервалдар методуМетод интерваловMéthode des intervalles

1) Көбөйтүндүнүн бардык нөлдөрүн таап, сан огуна белгилейбиз. 2) Эң оң жактагы интервалдын белгисин аныктайбыз. 3) Ар бир (жөнөкөй) нөлдөн өткөндө белги алмашат. 4) Керектүү белгидеги интервалдарды жоопко жазабыз.1) Находим все нули произведения и отмечаем их на числовой оси. 2) Определяем знак на самом правом интервале. 3) При переходе через каждый (простой) нуль знак меняется. 4) Выписываем интервалы нужного знака.1) Trouver tous les zéros du produit et les placer sur la droite numérique. 2) Déterminer le signe sur l’intervalle le plus à droite. 3) À chaque zéro (simple) traversé, le signe alterne. 4) Retenir les intervalles du signe demandé.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : x² − 9x + 18 ≥ 0 барабарсыздыгын чыгаргыла.Решите неравенство x² − 9x + 18 ≥ 0.Résolvez x² − 9x + 18 ≥ 0.

Тамырлары: D = 81 − 72 = 9, x = (9 ± 3)/2, б.а. 3 жана 6.Корни: D = 81 − 72 = 9, x = (9 ± 3)/2, то есть 3 и 6.Racines : D = 81 − 72 = 9, x = (9 ± 3)/2, soit 3 et 6.

a = 1 > 0: парабола тамырлардын сыртында нөлдөн өйдө.a = 1 > 0: парабола выше нуля вне корней.a = 1 > 0 : la parabole est au-dessus du zéro à l’extérieur des racines.

Барабардык да кирет (≥).Равенство тоже подходит (≥).L’égalité convient aussi (≥).

Жооп: x ∈ (−∞; 3] ∪ [6; +∞).Ответ: x ∈ (−∞; 3] ∪ [6; +∞).Réponse : x ∈ (−∞ ; 3] ∪ [6 ; +∞).

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Интервалдар методу менен чыгаргыла: (x − 1)(x + 4)(x − 6) > 0.Решите методом интервалов: (x − 1)(x + 4)(x − 6) > 0.Résolvez par la méthode des intervalles : (x − 1)(x + 4)(x − 6) > 0.

Нөлдөрү: −4, 1, 6.Нули: −4, 1, 6.Les zéros : −4, 1 et 6.

Сан огун төрт интервалга бөлөбүз.Числовая ось делится на четыре интервала.La droite numérique se découpe en quatre intervalles.

Эң оң жактагы интервалда (x > 6) үч көбөйтүүчү тең оң: белги «+». Ар бир нөлдөн өткөндө белги алмашат: + − + −.На самом правом интервале (x > 6) все три множителя положительны: знак «+». При переходе через каждый нуль знак меняется: + − + −.Sur l’intervalle le plus à droite (x > 6), les trois facteurs sont positifs : signe « + ». À chaque zéro traversé, le signe alterne : + − + −.

«+» болгон жерлер: (−4; 1) жана (6; +∞).Знак «+» на (−4; 1) и (6; +∞).Le signe « + » tient sur (−4 ; 1) et (6 ; +∞).

Жооп: x ∈ (−4; 1) ∪ (6; +∞).Ответ: x ∈ (−4; 1) ∪ (6; +∞).Réponse : x ∈ (−4 ; 1) ∪ (6 ; +∞).

Көнүгүүлөр банкыБанк упражненийBanque d’exercices
  1. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseЧыгаруу (D > 0)Решение (D > 0)Résoudre (D > 0)бөлүмразделsection 10.2

    x² − 7x + 10 = 0 теңдемесин чыгаргыла.Решите уравнение x² − 7x + 10 = 0.Résolvez x² − 7x + 10 = 0.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. D = 49 − 40 = 9 > 0, √D = 3.D = 49 − 40 = 9 > 0, √D = 3.D = 49 − 40 = 9 > 0 et √D = 3.
    2. x = (7 ± 3)/2, демек x = 2 же x = 5.x = (7 ± 3)/2, значит x = 2 или x = 5.x = (7 ± 3)/2, donc x = 2 ou x = 5.
  2. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de basex мүчөсү жок теңдемеУравнение без члена с xÉquation sans terme en xбөлүмразделsection 10.2

    x² − 9 = 0 теңдемесин чыгаргыла.Решите уравнение x² − 9 = 0.Résolvez x² − 9 = 0.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. x² = 9, демек x = −3 же x = 3.x² = 9, значит x = −3 или x = 3.x² = 9, donc x = −3 ou x = 3.
  3. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiairea ≠ 1 коэффициентиКоэффициент a ≠ 1Coefficient a ≠ 1бөлүмразделsection 10.2

    2x² + 3x − 2 = 0 теңдемесин чыгаргыла.Решите уравнение 2x² + 3x − 2 = 0.Résolvez 2x² + 3x − 2 = 0.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. D = 9 + 16 = 25, √D = 5.D = 9 + 16 = 25, √D = 5.D = 9 + 16 = 25 et √D = 5.
    2. x = (−3 ± 5)/4, демек x = 1/2 же x = −2.x = (−3 ± 5)/4, значит x = 1/2 или x = −2.x = (−3 ± 5)/4, donc x = 1/2 ou x = −2.
  4. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireКош тамырДвойной кореньRacine doubleбөлүмразделsection 10.2

    x² − 6x + 9 = 0 теңдемесин чыгаргыла.Решите уравнение x² − 6x + 9 = 0.Résolvez x² − 6x + 9 = 0.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. D = 36 − 36 = 0: кош тамыр x = 6/2 = 3 (жана x² − 6x + 9 = (x − 3)²).D = 36 − 36 = 0: двойной корень x = 6/2 = 3 (и x² − 6x + 9 = (x − 3)²).D = 36 − 36 = 0 : racine double x = 6/2 = 3 (et x² − 6x + 9 = (x − 3)²).
  5. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéҮч мүчөнүн белгисиЗнак трёхчленаSigne du trinômeбөлүмразделsection 10.4

    f(x) = x² − x − 6 функциясынын белгисин изилдегиле.Исследуйте знак функции f(x) = x² − x − 6.Étudiez le signe de f(x) = x² − x − 6.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Тамырлары: D = 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5)/2, б.а. −2 жана 3.Корни: D = 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5)/2, то есть −2 и 3.Racines : D = 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5)/2, soit −2 et 3.
    2. a = 1 > 0 болгондуктан: тамырлардын сыртында f(x) > 0, (−2; 3) аралыгында f(x) < 0.Так как a = 1 > 0: вне корней f(x) > 0, на (−2; 3) f(x) < 0.Comme a = 1 > 0 : f(x) > 0 à l’extérieur des racines, f(x) < 0 sur (−2 ; 3).
  6. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéТолук квадратты бөлүп чыгарууВыделение полного квадратаForme canoniqueбөлүмразделsection 10.3

    x² − 4x + 1 туюнтмасынан толук квадратты бөлүп чыгаргыла.Выделите полный квадрат в выражении x² − 4x + 1.Écrivez x² − 4x + 1 sous forme canonique.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 4 + 1 = (x − 2)² − 3.x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 4 + 1 = (x − 2)² − 3.x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 4 + 1 = (x − 2)² − 3.
  7. Эксперт деңгээлиЭкспертный уровеньNiveau expertТамырлардын суммасы жана көбөйтүндүсүСумма и произведение корнейSomme et produit des racinesбөлүмразделsection 10.2

    Дискриминантты эсептебей туруп, суммасы 5, көбөйтүндүсү 6 болгон эки санды тапкыла (x² − 5x + 6 = 0 теңдемесинин тамырлары).Не вычисляя дискриминанта, найдите два числа с суммой 5 и произведением 6 (корни уравнения x² − 5x + 6 = 0).Sans calculer le discriminant, trouvez deux nombres dont la somme est 5 et le produit 6 (racines de x² − 5x + 6 = 0).

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. S = 5, P = 6: суммасы 5, көбөйтүндүсү 6 болгон сандар — 2 жана 3 (2 + 3 = 5, 2·3 = 6).S = 5, P = 6: числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3 (2 + 3 = 5, 2·3 = 6).S = 5 et P = 6 : les nombres cherchés sont 2 et 3 (2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6).
    2. Бул — Виеттин теоремасы.Это теорема Виета.Ce sont les relations de Viète.
  8. Эксперт деңгээлиЭкспертный уровеньNiveau expertКвадраттык барабарсыздыкКвадратное неравенствоInéquation du second degréбөлүмразделsection 10.4

    x² − x − 6 ≤ 0 барабарсыздыгын чыгаргыла.Решите неравенство x² − x − 6 ≤ 0.Résolvez x² − x − 6 ≤ 0.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Тамырлары −2 жана 3; a > 0 болгондуктан үч мүчө тамырлардын ортосунда терс же нөл.Корни −2 и 3; при a > 0 трёхчлен отрицателен или равен нулю между корнями.Racines −2 et 3 ; avec a > 0, le trinôme est négatif ou nul entre les racines.
    2. Жооп: x ∈ [−2; 3].Ответ: x ∈ [−2; 3].Réponse : x ∈ [−2 ; 3].